平滑进度曲线为什么起终点速度为零：十一次时间取样的平滑位移（实例09）

界面移动若匀速启动和停止，速度会在两端突然改变。一条自定三次曲线可以让归一化进度仍从零走到一，同时使两端的变化率为零。

固定规则与输入

把时间除以总时长并限制到零至一，记为t。进度使用3t平方减2t立方，位置由起点加位移乘进度得到。区间外固定在端点，不继续外推。

起点6，终点1，总时长4

逐步观察结果

时刻-1，限制后的归一化时间0，平滑进度0，位置6，对实际时间的变化率0。

时刻0，限制后的归一化时间0，平滑进度0，位置6，对实际时间的变化率0。

时刻1，限制后的归一化时间1/4，平滑进度5/32，位置167/32，对实际时间的变化率-45/32。

时刻2，限制后的归一化时间1/2，平滑进度1/2，位置7/2，对实际时间的变化率-15/8。

时刻3，限制后的归一化时间3/4，平滑进度27/32，位置57/32，对实际时间的变化率-45/32。

时刻4，限制后的归一化时间1，平滑进度1，位置1，对实际时间的变化率0。

时刻5，限制后的归一化时间1，平滑进度1，位置1，对实际时间的变化率0。

时刻17/8，限制后的归一化时间17/32，平滑进度8959/16384，位置53509/16384，对实际时间的变化率-3825/2048。

时刻5/8，限制后的归一化时间5/32，平滑进度1075/16384，位置92929/16384，对实际时间的变化率-2025/2048。

时刻2，限制后的归一化时间1/2，平滑进度1/2，位置7/2，对实际时间的变化率-15/8。

时刻7/4，限制后的归一化时间7/16，平滑进度833/2048，位置8123/2048，对实际时间的变化率-945/512。

负时刻与结束之后都固定在端点。位移为负时，位置变化率也相应为负，但归一化进度仍从零增加到一；方向与进度的单调性应分别理解。

独立复核

在有效区间，进度变化率为6t乘1减t；位置的时间变化率还要乘总位移并除以总时长。中点进度恰好一半，两端速度为零，但中间不是匀速运动。

复核时先保留本例输入，再自己写出中间状态。若结果不同，应从最早出现差异的位置检查，尤其留意边界是否包含、索引从哪里开始、取整何时发生，以及是否使用了尚未更新的旧状态。计算得到的结论仅适用于已经说明的规则，修改规则后需要重新验证。

适用范围

本例控制的是标量位置，不自动处理碰撞和路径拐弯。曲线在区间内单调，不会越过端点；若用于角度或循环坐标，还需要先明确插值方向与坐标的表示方式。